Mathematics BSc (Hons)

University of Lincoln

Dieses Modul beginnt mit der Auffrischung und Erweiterung einiger Inhalte aus dem Mathematik-Abitur, wie z.B. dem Binomischen Satz, der Division von Polynomen, der Wurzelbildung von Polynomen und Faktorisierungen. Dann wird der euklidische Algorithmus mit einigen seiner zahlreichen Anwendungen vorgestellt, sowohl für ganze Zahlen als auch für Polynome. Dies führt natürlich zu einer Diskussion über Teilbarkeit und Kongruenz, sowohl für ganze Zahlen als auch für Polynome, mit dem Schwerpunkt auf Ähnlichkeiten und als Schritt zur Abstraktion.

Dieses Modul bietet den Schülern die Möglichkeit, eine Reihe von übertragbaren Fähigkeiten zu erlernen: wissenschaftliche Ideen über verschiedene Medien zu kommunizieren, in Gruppen zu arbeiten, Projekte zu verwalten und zu planen, Aufzeichnungen über die Arbeit zu führen. Die Schüler/innen haben die Möglichkeit, ein Verständnis für allgemeine und spezielle Datenbanken, deren Nutzung und Suche zu entwickeln. Gruppenarbeiten können die Fähigkeiten der Schüler/innen zur Teamarbeit bei der Untersuchung eines Themas aus der Literatur entwickeln. Die Schüler/innen haben die Möglichkeit, administrative Aufgaben innerhalb des Teams zu übernehmen und auf gemeinsame Ziele hinzuarbeiten.

Dieses Modul bietet eine Einführung in Computerpakete zur Manipulation analytischer Formeln (Computeralgebra) und zum technischen Rechnen. Die Schülerinnen und Schüler haben auch die Möglichkeit, Fähigkeiten zu entwickeln, wie z.B. die Nutzung eines Logbuchs zur Aufzeichnung von Fakten und zur reflektierenden Selbsteinschätzung, um ihr Lernen zu unterstützen.

Das Ziel dieses Moduls ist es, die Schüler mit grundlegenden mathematischen Argumenten vertraut zu machen, wie z.B. strenge Definitionen und Beweise, logischer Aufbau von mathematischen Aussagen. Die Schüler haben die Möglichkeit, die mengentheoretische Notation zu erlernen und sich mit verschiedenen Strategien mathematischer Beweise vertraut zu machen, wie dem Beweis durch mathematische Induktion oder dem Beweis durch Widerspruch. Strenge Definitionen von Grenzwerten von Folgen und Funktionen bilden die Grundlage für andere Kurse zur Infinitesimalrechnung und zu Differentialgleichungen. Die Bedeutung von Definitionen und Beweisen wird anhand von Beispielen von "Theoremen", die zwar offensichtlich erscheinen, aber in Wirklichkeit falsch sind, sowie von bestimmten mathematischen "Paradoxien" veranschaulicht.

Dieses Modul bietet eine Einführung in die Grundlagen von Wellen, geometrischer Optik und Mechanik, einschließlich ihrer mathematischen Grundlagen.

Dieses Modul konzentriert sich auf die Konzepte der Ableitung und des Riemann-Integrals, die in den modernen Wissenschaften unverzichtbar sind. Es werden zwei Ansätze verwendet: sowohl intuitiv-geometrische als auch mathematisch strenge, die auf der Definition von kontinuierlichen Grenzwerten basieren. Wichtige Ergebnisse sind der Mittelwertsatz, der zur Darstellung einiger Funktionen als Potenzreihen (Taylor-Reihen) führt, und der Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung, der die Beziehung zwischen Differenzierung und Integration herstellt. Weitere Werkzeuge der Kalkulation werden erkundet, wie die allgemeinen Eigenschaften der Ableitung und des Riemannschen Integrals sowie die Techniken der Integration. In diesem Modul können sich die Schüler mit vielen "beliebten" Funktionen beschäftigen, die in der gesamten Mathematik.

In diesem Modul werden Vektorräume und Matrizen beschrieben. Matrizen werden als Darstellungen von linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen betrachtet. Es werden Eigenwerte und Eigenvektoren eingeführt, die zur Diagonalisierung und Reduktion auf andere kanonische Formen führen. Spezielle Arten von Abbildungen und Matrizen (orthogonal, symmetrisch) werden vorgestellt. Anwendungen der linearen Algebra auf die Geometrie von quadratischen Flächen werden erforscht.

Dieses Modul beginnt mit einer Einführung in einen Wahrscheinlichkeitsraum, der die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments modelliert. Grundlegende Konzepte wie die statistische Unabhängigkeit und die bedingte Wahrscheinlichkeit werden eingeführt und anhand verschiedener praktischer Beispiele veranschaulicht. Es werden Zufallsvariablen eingeführt und bestimmte bekannte Wahrscheinlichkeitsverteilungen untersucht. Weitere Themen sind diskrete Verteilungen, die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen, der mathematische Erwartungswert, Zufallsvektoren, Kovarianz und Korrelation, bedingte Verteilungen und das Gesetz des Gesamterwartungswertes. Die für diskrete Verteilungen entwickelten Ideen werden auf kontinuierliche Verteilungen angewendet. Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Grundlage der mathematischen Statistik, die so viele wichtige Anwendungen in Wissenschaft, Industrie, Regierung und Handel hat. Die Schüler/innen haben die Möglichkeit, ein grundlegendes Verständnis der Statistik und ihrer Werkzeuge zu erlangen. Es ist wichtig, dass diese Werkzeuge richtig eingesetzt werden, wenn z.B. aus gesammelten Daten (Stichprobe) auf das Gesamtbild eines Problems (Grundgesamtheit) geschlossen werden muss.

Die Konzepte von Gruppen, Ringen und Feldern werden als Beispiele für beliebige algebraische Systeme eingeführt. Die grundlegende Theorie der Untergruppen einer gegebenen Gruppe und die Konstruktion von Faktorgruppen werden vorgestellt, und dann werden ähnliche Konstruktionen für Ringe eingeführt. Es werden Beispiele für Ringe betrachtet, darunter die ganzen Zahlen modulo n, die komplexen Zahlen und n-mal-n-Matrizen. Der Ring der Polynome über einem bestimmten Feld wird genauer untersucht.

Mit den Techniken der Kalkulation lassen sich bereits einfache Differentialgleichungen erster Ordnung lösen. Die Lösung von Differentialgleichungen zweiter Ordnung kann manchmal durch bestimmte Manipulationen erreicht werden. Die Schülerinnen und Schüler können etwas über die Existenz und die geometrische Interpretation von Lösungen lernen, auch wenn die Kalkulationstechniken keine Lösungen in einfacher Form liefern. Dies ist ein Teil der Existenztheorie gewöhnlicher Differentialgleichungen und führt zu grundlegenden Techniken der asymptotischen und qualitativen Untersuchung ihrer Lösungen, einschließlich der wichtigen Frage der Stabilität. Fourier-Reihen und Fourier-Transformationen werden eingeführt. Dieses Modul bietet eine Einführung in die klassischen linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung und in Techniken zu deren Lösung. Die grundlegenden Konzepte und Methoden werden für typische partielle Differentialgleichungen eingeführt, die die drei Klassen parabolisch, elliptisch und hyperbolisch repräsentieren.

Das Modul behandelt mehrere fortgeschrittene Themen der modernen Mathematik. Die Auswahl der Themen richtet sich nach den aktuellen Forschungsinteressen der Lehrkräfte und/oder Gastwissenschaftler. Die Studierenden werden auch die Möglichkeit haben, an mathematischen Forschungsseminaren teilzunehmen.

Dieses Modul zielt darauf ab, den Schülern die Erfahrung zu vermitteln, im Team an einem Projekt zu arbeiten. Die Schüler/innen werden die Möglichkeit haben, eine Reihe von Ergebnissen zu produzieren, die für ihren Studiengang relevant sind. Der Modulkoordinator ist dafür verantwortlich, dass jedes Projekt den Lernergebnissen des Moduls entspricht. Von den Gruppen wird erwartet, dass sie ihre Prozesse selbst verwalten und regelmäßige Treffen mit und ohne ihren Betreuer abhalten. Die Gruppen werden von dem/der Modulkoordinator/in und anderen Mitarbeitern/innen eingeteilt. Der Prozess der Entwicklung des untersuchten Themas und die Interaktion und das Management der Gruppenmitglieder untermauern die Bewertung der Fähigkeiten im Modul.

Die Schüler haben die Möglichkeit zu lernen, wie Mathematik auf moderne industrielle Probleme angewendet wird und wie der mathematische Apparat im Finanzsektor Anwendung findet.

Die Übertragung von Daten kann bedeuten, dass man Bilder vom Marsrover sendet, Live-Musik oder Videos streamt, mit jemandem telefoniert oder die Frage "Liebst du mich?" beantwortet. Probleme entstehen, wenn sich Fehler einschleichen, die katastrophale Folgen haben können (z. B. der Empfang von "N" statt "Y"). Die Kodierungstheorie bietet fehlerkorrigierende Codes, die so gestaltet sind, dass auftretende Fehler erkannt und (innerhalb bestimmter Grenzen) anhand der verbleibenden Symbole korrigiert werden können. Das Problem ist, die Zuverlässigkeit mit den Kosten und/oder der Verlangsamung der Übertragung in Einklang zu bringen. Die Schülerinnen und Schüler haben die Möglichkeit, verschiedene Arten von fehlerkorrigierenden Codes zu untersuchen, wie z.B. lineare Codes, Hamming-Codes, perfekte Codes usw., von denen einige algebraisch sind und andere geometrischen Mustern entsprechen.

Die Ideen der Ableitungsrechnung und der Integralrechnung werden auf komplexe Funktionen einer komplexen Variablen erweitert. Die Schüler/innen lernen, dass komplexe Differenzierbarkeit eine sehr starke Bedingung ist und sich differenzierbare Funktionen sehr gut verhalten. Die Integration entlang von Pfaden in der komplexen Ebene wird eingeführt. Eines der wichtigsten Ergebnisse dieses schönen Teils der Mathematik ist das Cauchy-Theorem, das besagt, dass bestimmte Integrale entlang geschlossener Pfade gleich Null sind. Daraus ergeben sich nützliche Techniken zur Auswertung von reellen Integralen, die auf der "Rückstandsrechnung" beruhen.

Das Ziel dieses Moduls ist es, die Schüler mit den wichtigsten Begriffen der theoretischen Mechanik vertraut zu machen. Die Studierenden werden die Möglichkeit haben, relevante mathematische Techniken und Methoden zu erlernen.

Die Schüler/innen haben die Möglichkeit, Computer für die numerische Lösung und Simulation von Modellen physikalischer und mathematischer Systeme zu nutzen. Es werden numerische Algorithmen eingeführt, um die Schlüsselkonzepte der Computerprogrammierung zu veranschaulichen, wobei der Schwerpunkt auf dem Verständnis der Natur des Algorithmus und den Eigenschaften und Grenzen seiner rechnerischen Umsetzung liegt. Bei der Erstellung von Programmen liegt der Schwerpunkt auf der Anwendung effektiver Programmiertechniken und auf effizienten Debugging-, Test- und Validierungsmethoden. Die Schüler/innen können auch die Fähigkeit entwickeln, ein Logbuch zur Aufzeichnung von Fakten und zur reflektierenden Selbsteinschätzung zu verwenden, um ihr Lernen zu unterstützen.

Symmetrie, verstanden im weitesten Sinne als Invariante unter Transformationen, durchdringt alle Bereiche der Mathematik und der Naturwissenschaften. Gruppen sind ein Maß für diese Symmetrie und werden daher überall in der Mathematik verwendet. Die abstrakte Gruppentheorie untersucht die innere Struktur von Gruppen. Der Kurs beginnt mit Definitionen von Untergruppen, normalen Untergruppen und Gruppenaktionen in verschiedenen Formen. Es werden Gruppenhomomorphismen eingeführt und die dazugehörigen Isomorphiesätze bewiesen. Sylow p-Untergruppen werden eingeführt und die drei Sylow-Theoreme werden bewiesen. Überall werden Symmetriegruppen als Beispiele verwendet.

Dies ist ein Doppelmodul, in dem ein/e Schüler/in ein Projekt unter der Aufsicht eines/r forschungsaktiven Mitarbeiters/in durchführt. Das Projekt kann in einer externen Kooperationseinrichtung durchgeführt werden. Es werden Projekte in einer Vielzahl von Fächern angeboten, die unter Berücksichtigung der individuellen Präferenzen und des Studienprogramms der Schüler/innen ausgewählt werden. Einige Projekte konzentrieren sich auf eine detaillierte Untersuchung mathematischer Theorien oder Techniken in einem Bereich von aktuellem Interesse. Bei anderen Projekten geht es um die Lösung spezifischer Probleme, die die Formulierung eines mathematischen Modells, seine Entwicklung und Lösung erfordern. Die Schüler treffen sich regelmäßig mit ihrem Betreuer, um sich beraten zu lassen und den Fortschritt zu überprüfen.

Das Modul soll den Studierenden Kenntnisse über verschiedene numerische Methoden zur Lösung von Problemen der angewandten Mathematik, ihre Algorithmen und die Implementierung in Programmiersprachen vermitteln.

Dieses Modul führt in Tensoren ein, die abstrakte Objekte sind, die lineare Beziehungen zwischen Vektoren, Skalaren und anderen Tensoren beschreiben. Das Modul zielt darauf ab, den Schülerinnen und Schülern das Wissen über die Manipulation von Tensoren zu vermitteln, und stellt ihre Anwendungen in der modernen Wissenschaft vor.