Mathématiques appliquées/Mathématiques pures BSc (Hons)

Aberystwyth University

Ce module couvre l'algèbre qui est fondamentale pour le développement des mathématiques. Ce module a pour but de présenter aux élèves les idées de l'algèbre à travers l'étude des nombres complexes et des polynômes. Après avoir terminé ce module avec succès, les élèves devraient être capables de : utiliser la notation des ensembles et des mappings ; construire des preuves en utilisant le principe d'induction mathématique ; appliquer le théorème binominal pour un exposant entier dans diverses situations ; obtenir les sommes de séries arithmétiques et géométriques ; manipuler des nombres complexes et utiliser le théorème de DeMoivre ; utiliser l'algorithme de division pour les polynômes ; dériver des inégalités impliquant les racines d'un polynôme et ses coefficients.

L'objectif de ce module est d'étudier les situations dans lesquelles les fonctions de plusieurs variables apparaissent naturellement en mathématiques. Les fonctions linéaires conduisent à des techniques de résolution d'équations linéaires et à une théorie matricielle élémentaire. Les fonctions non linéaires conduisent à une étude des dérivées partielles et des intégrales multiples.

Un premier cours d'analyse mathématique vise à aborder certaines des questions qui sont survolées dans le développement du calcul. Les concepts centraux de limite et de continuité seront introduits et utilisés pour prouver rigoureusement certains des théorèmes fondamentaux de l'analyse. Ces idées jouent un rôle fondamental dans le développement ultérieur des mathématiques.

Après avoir terminé ce module avec succès, les élèves devraient être capables de : esquisser les graphiques de fonctions simples ; calculer les limites de fonctions à valeur réelle ; déterminer si des fonctions données sont continues ou non ; expliquer l'idée de dérivée et calculer les dérivées à partir des premiers principes ; expliquer la notion de fonction inverse ; dériver les formules pour la dérivée des produits et des quotients de fonctions ; calculer la dérivée des fonctions ; déterminer les maxima et minima locaux des fonctions et leurs points d'inflexion ; calculer les intégrales par les méthodes de substitution et d'intégration par parties ; calculer les intégrales de fonctions rationnelles et de fonctions trigonométriques.

Ce module propose une introduction à la théorie classique de la dynamique. Il comprend trois parties principales, après un bref rappel de la manipulation des vecteurs. La première partie couvre la cinématique classique, les lois du mouvement de Newton, la quantité de mouvement, les forces, le travail et l'énergie mécanique. La deuxième partie présente le mouvement de rotation et illustre les parallèles avec le mouvement de translation. La théorie des oscillations est introduite dans la troisième partie, couvrant l'oscillateur harmonique classique, la résonance et les oscillateurs couplés.

Ce module présente certaines des notions fondamentales de la géométrie - points, lignes, courbes, plans et surfaces - de manière analytique, dans le langage de la géométrie des coordonnées. Les coniques sont classées en fonction de leurs équations et de leurs propriétés géométriques. Les concepts de tangente et de normale sont développés.

Ce module initie les élèves à la programmation informatique par le biais d'une gamme de logiciels : logiciels de traitement de texte, logiciels de présentation, tableurs et programmation formelle. Il utilisera des idées simples en mathématiques pour illustrer des utilisations simples des logiciels et des compétences sur le lieu de travail. Le service des carrières propose, dans le cadre de ce module, un programme de sensibilisation aux compétences au cours duquel chaque élève prépare une lettre de présentation et un Curriculum Vitae. Travaillant en équipe, les élèves feront des recherches sur les carrières qui s'offrent aux diplômés dans leur discipline et sur le rapport entre les compétences acquises pendant leur cours et ces carrières. Chaque équipe produira ensemble une présentation de ses résultats, en utilisant le logiciel auquel ils ont été initiés.

Ce module fournit des bases en probabilité et est un précurseur nécessaire pour toute étude ultérieure de la statistique mathématique et de la recherche opérationnelle. L'accent est mis sur la modélisation de situations réelles, y compris les calculs de probabilité motivés par des problèmes statistiques. Les techniques mathématiques requises seront introduites ou révisées en tant que partie intégrante du cours.

Ce module vise à développer des modèles de probabilité courants, applicables à diverses situations, et à illustrer leur utilisation dans l'inférence statistique. Il comprend également une introduction à la théorie de l'estimation.

Les mathématiques sont peut-être le moyen le plus efficace et le plus abouti de décrire le monde réel. L'objectif de ce module est de présenter aux élèves la notion de modélisation mathématique et de développer les compétences techniques nécessaires à la résolution des problèmes mathématiques qui se posent dans les applications. Le programme comprendra des techniques d'intégration, des équations différentielles du premier ordre et du second ordre linéaire. Des exemples seront tirés de la biologie, de l'économie et de la physique.

Dans ce module, le concept d'espace vectoriel est introduit. Cela développe certaines idées qui sont apparues dans le cours de première année. On verra que des problèmes superficiellement différents en mathématiques peuvent être unifiés. Par exemple, la résolution de systèmes d'équations linéaires et d'équations différentielles linéaires est essentiellement le même processus et peut être traitée simultanément dans ce contexte.

L'analyse complexe est l'étude des fonctions à valeurs complexes d'une variable complexe. C'est, d'une part, un domaine fructueux des mathématiques pures qui présente de nombreux résultats élégants et surprenants et, d'autre part, la théorie a de nombreuses applications dans de nombreuses branches des mathématiques et de l'ingénierie. Le rôle important des variables complexes dans les mathématiques appliquées, par exemple, est en partie dû à l'utilisation de la théorie des résidus dans l'évaluation de certaines intégrales réelles et à l'application de la cartographie conforme en hydrodynamique et aux problèmes de la théorie du potentiel.

L'étude de l'analyse réelle est d'une importance capitale pour tout élève qui souhaite aller au-delà de la manipulation routinière de formules pour résoudre des problèmes standard. La capacité à penser de manière déductive et à analyser des exemples compliqués est essentielle pour modifier et étendre les concepts à de nouveaux contextes. Ce module est conçu pour répondre à ces besoins.

Ce module présente la mécanique lagrangienne et examine une variété de situations dynamiques à l'aide de cette approche.

Ce module présente et développe les concepts de base de l'hydrodynamique classique et fournit un cadre pour une appréciation moderne de la mécanique des fluides.

Dans ce module, les propriétés des entiers et des polynômes à coefficients numériques dans une seule variable sont étudiées dans un cadre formel. À l'aide de relations d'équivalence, des algèbres de classes d'équivalence sont construites avec de nombreuses propriétés des entiers et des polynômes. La notion d'anneau englobe toutes les algèbres rencontrées. L'approche axiomatique est ensuite utilisée pour établir des propositions élémentaires pour tous les anneaux et pour fournir un contexte général aux constructions.

Il est souvent impossible de trouver la solution exacte d'un problème mathématique en utilisant les techniques standard. Dans ces situations, il faut recourir à des techniques numériques et à l'utilisation d'un ordinateur. L'analyse numérique s'intéresse au développement et à l'analyse de méthodes pour la résolution numérique de problèmes pratiques. Ce cours sera une introduction au langage de programmation Python et, plus largement, au sujet de la pile scientifique Python. Il présentera ensuite les techniques d'approximation numérique des problèmes mathématiques et l'analyse de ces techniques, en utilisant Python pour fournir une application pratique des méthodes numériques.

Ce module développe une variété de théories mathématiques : analyse vectorielle, équations différentielles et analyse de Fourier. Celles-ci sont appliquées à la modélisation et à la résolution de problèmes dans une large sélection de situations physiques;électrostatique, magnétisme, gravitation, mécanique, thermodynamique, physique des plasmas, physique atmosphérique et mécanique des fluides.

Sur le lieu de travail, il y a une demande croissante de personnel compétent dans l'analyse et l'interprétation des données. Le module, qui comprend une utilisation intensive du progiciel statistique 'R', couvre les compétences de base d'un statisticien praticien d'un point de vue théorique et pratique. Il comprend également la préparation de rapports.

La théorie des graphes s'est développée à partir de recherches sur un certain nombre de problèmes classiques : le problème du pont de Konigsberg d'Euler, le problème du réseau électrique de Kirchoff, l'énumération des graphes chimiques de Cayley et le problème des quatre couleurs pour les cartes planes. Une solution complète est trouvée pour le problème d'Euler et un problème connexe dû à Hamilton est étudié. Les algorithmes du chemin le plus court et le plus long sont donnés avec des applications, par exemple, à la planification des tâches (PERT). Des algorithmes sont décrits pour trouver des arbres de portée de poids optimal dans les graphes pondérés. Ils peuvent être utilisés, par exemple, pour trouver des réseaux de transport connectés à moindre coût. La théorie des flux dans les réseaux de transport est décrite : en particulier le théorème max-flow-min-cut. Deux domaines d'application sont les flux de trafic et la théorie de l'appariement.

Ce cours vise à développer la capacité des élèves à identifier les paramètres clés d'un système complexe et à créer et résoudre un modèle comparativement simple, dont les résultats peuvent ensuite être reliés au système d'origine. Les exemples comprendront des modèles de population chaotiques et des vagues dans les systèmes de réaction-diffusion.

De nombreux problèmes mathématiques survenant en mécanique peuvent être formulés en termes d'équations différentielles. Cependant, en règle générale, ces problèmes posent de nouveaux défis du point de vue mathématique. C'est pourquoi les cas limites les plus simples, qui permettent des solutions analytiques, revêtent une importance particulière. L'objectif de l'approche asymptotique est de simplifier le problème mathématique étudié.

Le développement de l'analyse mathématique et de ses applications nécessite de définir un concept de distance sur un espace vectoriel. Ceci peut être réalisé en introduisant l'idée d'une norme. Ce module s'intéresse au développement de la théorie des espaces normés menant à la preuve du théorème de la contraction des cartes et à une introduction aux idées fondamentales de la théorie des équations différentielles.

L'article fondamental de Shannon intitulé 'Une théorie mathématique de la communication' (1948) a créé la théorie de l'information en tant que partie intégrante des mathématiques.... Elle fournit les outils nécessaires à une compréhension rigoureuse du traitement de l'information et de la communication. Dans ce module, nous développons soigneusement les principaux concepts comme l'entropie, la compression et le codage des données, les canaux et leur capacité. Nous expliquons les principaux théorèmes et résultats et les appliquons à diverses classes d'exemples.

L'objectif de ce module est d'introduire la théorie mathématique de l'élasticité linéaire dans sa formulation 2D. Il partira d'un cadre général dans lequel un modèle de la déformation d'un corps solide soumis à une charge externe est dérivé en analysant les contraintes internes et la déformation associée. La théorie 2D sera développée comme un système d'équations différentielles et appliquée à des problèmes pratiques sélectionnés. Les techniques analytiques nécessaires pour résoudre ces problèmes seront présentées.

Le concept de groupe apparaît naturellement dans les situations impliquant une symétrie ou dans lesquelles une certaine quantité est préservée ; par exemple, diverses lettres comme A, S et I possèdent différents nombres de symétries et les mouvements rigides préservent la distance. Ce module présentera la notion de groupe comme un objet algébrique défini par un ensemble simple d'axiomes. Diverses techniques de description des groupes seront étudiées. Les principaux théorèmes de structure pour les groupes finis seront décrits et appliqués dans divers contextes de théorie des groupes.

De nombreux problèmes mathématiques survenant dans les sciences physiques, l'ingénierie et la technologie, peuvent être formulés en termes d'équations différentielles partielles. Pour tenter de résoudre ces problèmes, il faut connaître les différents types d'équations aux dérivées partielles qui existent, ainsi que les différentes conditions aux limites associées à chaque type. Ces facteurs déterminent la méthode de solution que l'on doit utiliser.