Mathématiques, recherche opérationnelle, statistiques et économie (MORSE) MMorse

The University of Warwick

L'Analyse mathématique est le cœur des Mathématiques modernes. Le calcul est généralement synonyme d'Analyse, axé sur les calculs plutôt que sur la démonstration de théorèmes. Le sujet de l'Analyse est développé en mettant l'accent sur les calculs.

C'est dans ses preuves que se trouvent la force et la richesse des mathématiques. Les mathématiques universitaires introduisent progressivement des idées et des structures de plus en plus abstraites et exigent davantage de preuves, jusqu'à ce que tu passes la majeure partie de ton temps à comprendre des preuves et à créer les tiennes. Apprendre à gérer l'abstraction et les preuves prend du temps. Ce module comblera le fossé entre les mathématiques scolaires et universitaires, en te faisant passer de techniques concrètes où l'accent est mis sur le calcul, à l'abstraction et aux preuves.

Ce module est principalement axé sur la théorie économique, mais les applications "du monde réel" des théories pertinentes seront également examinées, dans la limite du temps imparti. Le module couvre des aspects de la microéconomie et de la macroéconomie. La microéconomie s'intéresse au comportement économique des consommateurs individuels et des entreprises productrices, ainsi qu'à leur interaction sur les marchés des biens, des services et des facteurs de production. La macroéconomie, quant à elle, s'intéresse aux variables économiques globales ou au fonctionnement de l'économie nationale dans son ensemble, comme le produit intérieur brut, le chômage, l'inflation et les taux d'intérêt, ainsi qu'aux politiques économiques gouvernementales visant à influencer ces variables.

Ce module est une introduction à la pensée et à l'inférence statistiques. Tu apprendras comment les concepts rencontrés en probabilités peuvent être utilisés pour construire un modèle statistique - une explication cohérente des données. Tu seras capable de proposer des modèles appropriés pour certains ensembles de données simples, et tu découvriras en cours de route comment une fonction appelée vraisemblance joue un rôle clé dans les fondements de l'inférence statistique. Tu seras également initié aux idées fondamentales de la régression. À l'aide du progiciel R, tu te familiariseras avec le pipeline d'analyse statistique : analyse exploratoire des données, formulation d'un modèle, évaluation de son adéquation, visualisation et communication des résultats. Ce module te prépare également à un examen plus approfondi des statistiques mathématiques en deuxième année.

Les probabilités sont un module fondamental qui t'initie à la fois aux concepts importants des probabilités mais aussi aux notions clés du formalisme mathématique et de la résolution de problèmes. Tu veux penser comme un mathématicien ? Ce module est fait pour toi. Tu apprendras à exprimer des concepts mathématiques de manière claire et précise et à construire des arguments mathématiques rigoureux grâce à des exemples tirés des probabilités, ce qui renforcera tes compétences en matière de raisonnement mathématique et logique. Tu développeras également ta capacité à calculer à l'aide de probabilités et d'attentes en expérimentant des résultats aléatoires à travers la notion d'événements et leur probabilité. Tu apprendras des méthodes de comptage (formule d'inclusion-exclusion et coefficients binomiaux) et étudieras des sujets théoriques, notamment la probabilité conditionnelle et la théorie de Bayes.

Ce module fait suite à Probabilité 1, qui te prépare à étudier la théorie des probabilités plus en détail ici. Tu vas maintenant étudier des exemples d'espaces de probabilité discrets et continus. Tu examineras de près d'importantes familles de distributions et la distribution des variables aléatoires, et la lumière que cela apporte sur les propriétés de l'espérance. Tu examineras la moyenne, la variance et la covariance de la distribution, par le biais des inégalités de Chebyshev et de Cauchy-Schwarz, ainsi que le concept d'espérance conditionnelle. Le module fournit des bases importantes pour une étude ultérieure des probabilités avancées, de la modélisation statistique et d'autres domaines de spécialisation potentiels comme la finance mathématique.

La recherche opérationnelle s'intéresse aux méthodes analytiques avancées pour soutenir la prise de décision, par exemple pour l'allocation des ressources, le routage ou l'ordonnancement. Un problème courant dans la prise de décision est de trouver une solution optimale soumise à certaines contraintes. La programmation mathématique I te présente les aspects théoriques et pratiques de la programmation linéaire, une approche mathématique de ces problèmes d'optimisation.

De nombreux problèmes en maths et en sciences sont résolus par réduction à un système d'équations linéaires simultanées dans un certain nombre de variables. Même pour les problèmes qui ne peuvent pas être résolus de cette façon, il est souvent possible d'obtenir une solution approximative en résolvant un système d'équations linéaires simultanées, ce qui donne la "meilleure approximation linéaire possible"'.

Ce module se déroule en parallèle avec les statistiques mathématiques et te donne une expérience pratique de l'utilisation de certaines des idées que tu y as vues. La pièce maîtresse de ce module est la notion de modèle linéaire, qui te permet de formuler un modèle de régression pour expliquer la relation entre les variables prédicteurs et les variables réponses. Tu découvriras les idées clés de la régression (comme les résidus, les diagnostics, les distributions d'échantillonnage, les estimateurs des moindres carrés, l'analyse de la variance, les tests t et les tests F) et tu analyseras les estimateurs pour une variété de problèmes de régression. Ce module a une forte composante pratique et tu utiliseras le progiciel R pour analyser des ensembles de données, y compris l'analyse exploratoire des données, l'ajustement et l'évaluation des modèles linéaires, et la communication de tes résultats. Ce module te préparera à de nombreux modules de fin d'études, notamment le module de troisième année couvrant les modèles linéaires généralisés (encore plus flexibles).

Après les modules mathématiques de la première année, tu acquerras une expertise dans l'application des techniques mathématiques aux probabilités et aux statistiques. Par exemple, tu seras capable d'adapter les techniques de calcul pour calculer les attentes et les distributions conditionnelles relatives à un vecteur aléatoire, et tu rencontreras la théorie des matrices nécessaire pour comprendre la structure de covariance. Tu acquerras également des connaissances de base sur l'algèbre linéaire qui sous-tend la régression (comme les espaces de produits internes et l'orthogonalisation). À la fin de ton cours, attends-toi à appliquer le calcul multivarié (intégration, calcul des volumes sous la surface, formules de variables et théorème de Fubini), à utiliser les dérivées partielles, à dériver les points critiques et les extrema, et à comprendre l'optimisation sous contrainte. Tu travailleras aussi sur les valeurs propres et les vecteurs propres, la diagonalisation, les bases orthogonales et l'orthonormalisation.

Si tu as déjà suivi le module Probabilité en première année, ce module te permettra d'acquérir les connaissances nécessaires pour étudier des sujets plus avancés en probabilité et de comprendre le pont entre les probabilités et les statistiques. Tu étudieras plus en profondeur les distributions discrètes, continues et multivariées, et tu apprendras également la formule de transformation de Jacobian, les distributions gaussiennes conditionnelles et multivariées, ainsi que les distributions connexes de Chi-carré, de Student et de Fisher. Tu aborderas également des sujets plus avancés, notamment les fonctions génératrices de moments pour les variables aléatoires, les notions de convergence, ainsi que la loi des grands nombres et la théorie de la limite centrale.

Le concept de processus stochastique (qui se développe de façon aléatoire dans le temps) est un outil mathématique utile et étonnamment beau en économie, biologie, psychologie et recherche opérationnelle. En étudiant les idées qui régissent les processus stochastiques séquentiels, tu découvriras les chaînes de Markov, qui utilisent la probabilité conditionnelle pour une famille de processus aléatoires largement applicable ; les marches aléatoires ? les éléments de base pour construire d'autres processus et qui sont importants en soi ? et la théorie du renouvellement, pour les processus qui "recommencent". Ta compréhension s'étendra aux notions de comportement, y compris la fugacité, la récurrence et l'équilibre, et tu appliqueras ces idées à des problèmes de théorie des probabilités.

Ce module s'appuie sur le module de première année Programmation mathématique 1. Tu apprendras à identifier les problèmes commerciaux qui peuvent être modélisés à l'aide de techniques d'optimisation et à les formuler sous une forme mathématique appropriée. Tu appliqueras ensuite les techniques d'optimisation à la résolution des problèmes à l'aide de tableurs et d'autres logiciels appropriés et tu apprendras à rendre compte de la signification de la solution optimale d'une manière adaptée à un contexte commercial.

Si tu as terminé "Probabilité pour la statistique mathématique", ce module de deuxième semestre est ta prochaine étape, où tu étudieras en détail les principales idées derrière l'inférence statistique, en mettant l'accent sur la modélisation statistique et les vraisemblances. Tu apprendras comment estimer les paramètres d'un modèle statistique grâce à la théorie des estimateurs, et comment choisir entre des explications concurrentes de tes données grâce à la sélection de modèles. Cela t'amène à des concepts importants comme les tests d'hypothèse, les valeurs p et les intervalles de confiance, des idées largement utilisées dans de nombreuses disciplines scientifiques. Tu découvriras aussi les idées qui sous-tendent les statistiques bayésiennes, une approche flexible et intuitive de l'inférence qui se prête particulièrement bien aux techniques informatiques modernes. Dans l'ensemble, ce module te fournira une base très solide pour ton engagement futur dans les statistiques avancées - dans tes dernières années et au-delà.

Le concept de processus stochastique (qui se développe de façon aléatoire dans le temps) est un outil mathématique utile et étonnamment beau en économie, biologie, psychologie et recherche opérationnelle. En étudiant les idées qui régissent les processus stochastiques séquentiels, tu découvriras les chaînes de Markov, qui utilisent la probabilité conditionnelle pour une famille de processus aléatoires largement applicable ; les marches aléatoires ? les éléments de base pour construire d'autres processus et qui sont importants en soi ? et la théorie du renouvellement, pour les processus qui "recommencent". Ta compréhension s'étendra aux notions de comportement, y compris la fugacité, la récurrence et l'équilibre, et tu appliqueras ces idées à des problèmes de théorie des probabilités.

Le concept de processus stochastique (qui se développe de façon aléatoire dans le temps) est un outil mathématique utile et étonnamment beau en économie, biologie, psychologie et recherche opérationnelle. En étudiant les idées qui régissent les processus stochastiques séquentiels, tu découvriras les chaînes de Markov, qui utilisent la probabilité conditionnelle pour une famille de processus aléatoires largement applicable ; les marches aléatoires ? les éléments de base pour construire d'autres processus et qui sont importants en soi ? et la théorie du renouvellement, pour les processus qui "recommencent". Ta compréhension s'étendra aux notions de comportement, y compris la fugacité, la récurrence et l'équilibre, et tu appliqueras ces idées à des problèmes de théorie des probabilités.

Le concept de processus stochastique (qui se développe de façon aléatoire dans le temps) est un outil mathématique utile et étonnamment beau en économie, biologie, psychologie et recherche opérationnelle. En étudiant les idées qui régissent les processus stochastiques séquentiels, tu découvriras les chaînes de Markov, qui utilisent la probabilité conditionnelle pour une famille de processus aléatoires largement applicable ; les marches aléatoires ? les éléments de base pour construire d'autres processus et qui sont importants en soi ? et la théorie du renouvellement, pour les processus qui "recommencent". Ta compréhension s'étendra aux notions de comportement, y compris la fugacité, la récurrence et l'équilibre, et tu appliqueras ces idées à des problèmes de théorie des probabilités.