Wiskunde en Muziek met een Jaar in het Buitenland BA (Hons)

Cardiff University

Het eerste deel van de module beoogt de leerlingen vertrouwd te maken met eerste-orde differentiaalvergelijkingen. Rekentechnieken zullen worden ingezet om eenvoudige oplossingen van zulke differentiaalvergelijkingen te vinden. Bovendien wordt van de leerlingen verwacht dat ze een waardering ontwikkelen voor de manier waarop de oplossingen een meetkundige interpretatie kunnen krijgen, ook als het niet mogelijk is om met behulp van calculus technieken oplossingen te vinden die in een eenvoudige vorm geschreven kunnen worden. Het tweede deel van de module houdt zich bezig met de oplossing van tweede-orde differentiaalvergelijkingen. Manipulatieve technieken zullen gebruikt worden om oplossingen van tweede-orde differentiaalvergelijkingen te bepalen voor gevallen waarin de vergelijking een specifieke en betrekkelijk eenvoudige vorm aanneemt. Het tweede deel van de module houdt zich bezig met de oplossing van tweede-orde differentiaalvergelijkingen. Manipulatieve technieken zullen gebruikt worden om oplossingen van tweede-orde differentiaalvergelijkingen te bepalen voor gevallen waarin de vergelijking een specifieke en betrekkelijk eenvoudige vorm aanneemt. Er zal ook enige algemene discussie zijn over de omstandigheden waaronder het mogelijk is te weten dat er een oplossing van een differentiaalvergelijking bestaat, ook al kan er geen eenvoudige wiskundige formule voor de oplossing verkregen worden.

Deze module maakt je vertrouwd met de basisstructuren van de wiskunde: Sets, getallen, algebraïsche basisstructuren, en het begrip limiet. Bovendien leer je wat een wiskundig bewijs is en hoe je een wiskundige stelling kunt bewijzen.

In deze module bestuderen we nauwkeurig reële functies en hun eigenschappen, met bijzondere aandacht voor continuïteit en differentieerbaarheid. We geven een wiskundige definitie van limieten in een punt, continuïteit, de afgeleide en de Riemann integraal. We laten zien hoe je veel van de rekenregels die al op A-niveau gebruikt worden, rigoureus kunt afleiden. Bijzondere aandacht wordt besteed aan het bewijzen van stellingen voor differentieerbare functies (zoals bv. de Tussentijdse Waardetheorie) en toepassingen op maxima en minima, convexiteit en concaviteit. Deze hulpmiddelen kunnen later toegepast worden bij de kwalitatieve studie van functies en hun grafieken.

Lineaire algebra is een eerste steen van de moderne wiskunde. Deze module introduceert en bestudeert veel van de fundamentele structuren van de lineaire algebra, waaronder vectorruimten, deelruimten, lineaire transformaties, lineaire combinaties, overspannen verzamelingen, lineair onafhankelijke verzamelingen en dimensionaliteit. Al deze begrippen zullen geïllustreerd worden met talrijke specifieke voorbeelden, waardoor een stevig verband gelegd wordt tussen het abstracte en het concrete. De module eindigt met de definitie van een basis van een eindig-dimensionale vectorruimte, en een bewijs van het resultaat dat elke eindig-dimensionale vectorruimte vereenzelvigd kan worden met een verzameling eindig-tupels van scalars.

Deze module is gewijd aan het overbrengen van alle basisbegrippen van calculus van functies van één variabele naar functies van meerdere variabelen, waaronder limieten, continuïteit, extrema, differentiëren en integreren. Bovendien leren de leerlingen basisideeën over krommen en oppervlakken. Na afloop van de module moet een leerling discontinuïteitspunten van gespecificeerde functies kunnen vinden; Vergelijkingen voor raakvlakken aan oppervlakken kunnen vinden; Functies van twee variabelen in Taylorreeksen uitbreiden; Stationaire punten van functies van twee variabelen lokaliseren; De aard van stationaire punten bepalen; Maximale en minimale waarden van functies onder beperkingen bepalen; Dubbele en drievoudige integralen evalueren door ze uit te drukken als herhaalde integralen en door verandering van variabele; De bewijzen begrijpen van stellingen die ten grondslag liggen aan de procedures die in de cursus worden beschreven.

De module laat zien hoe de begrippen differentiëren en integreren van reële functies uitgebreid kunnen worden tot complexe functies. Complexe functies brengen complexe getallen in complexe getallen in kaart. Voor een speciale deelverzameling van deze functies is het mogelijk een afgeleide te definiëren. Deze differentieerbare complexe functies hebben bijzonder mooie eigenschappen. De reële integraal tussen twee punten x1 en x2 op de reële as wordt veralgemeend tot een complexe integraal langs een pad tussen twee punten z1 en z2 in het complexe vlak. Deze integralen heten contourintegralen. Stellingen van Cauchy laten zien hoe sommige contourintegralen van differentieerbare complexe functies op een mooie en eenvoudige manier geëvalueerd kunnen worden met behulp van methoden die bekend staan als de residu calculus. De residurekening kan gebruikt worden om reële integralen te evalueren.

Deze module, gebaseerd op hoorcolleges, gaat verder met de kennismaking van de studenten met de fundamentele begrippen van de lijnalgebra. Voortbordurend waar MA1008 Lineaire Algebra I ophield, interpreteren we basen als coördinaatisomorfismen met kn. We leggen dan uit hoe dit ons in staat stelt abstracte lineaire landkaarten als matrices op te schrijven en te manipuleren. Matrix berekeningsmethoden worden geïntroduceerd, en uitvoerig bestudeerd. De leerlingen leren hoe ze de kern en het beeld van een lineaire kaart kunnen berekenen via matrices, en als toepassing ? hoe ze stelsels homogene en niet-homogene lineaire vergelijkingen kunnen oplossen. Tenslotte bestuderen we hoe de matrix van een lineaire kaart verandert met een verandering van basis en tot welke standaardvorm hij gebracht kan worden. De module besluit met enkele van de spannendste en meest uitdagende stof in Lineaire Algebra. We bekijken de standaardvorm waarnaar een matrix van een lineaire kaart gebracht kan worden door de grondslagen van de bron- en de beeldruimte te veranderen. We vragen dan wat er gebeurt in het geval van een endomorfisme, waar voor beide slechts één basis gekozen kan worden. Diagonaliseerbaarheid wordt besproken, wat op natuurlijke wijze leidt tot de begrippen eigenvectoren en eigenwaarden. Leerlingen leren hoe ze deze kunnen berekenen via de karakteristieke polynoom. Het bestaan van niet-diagonaliseerbare lineaire kaarten wordt vastgesteld, wat leidt tot de hoofdstelling van de cursus ? de Jordaanse Normaalvorm van endomorfisme. We eindigen met het bestuderen van duale vectorruimten en duale bodems, bilineaire vormen, orthogonaliteit, inwendige producten, en Gram-Schmidt orthonormalisatie-algoritmen....00

Dit is een module op basis van hoorcolleges, die fundamentele wiskundige methoden behandelt die voor alle studenten wiskunde of statistiek van essentieel belang zijn. In het bijzonder wordt de theorie van bepaalde belangrijke reeksen en transformaties ontwikkeld. Na afloop van de module moet een student kunnen begrijpen wat een Fourier Reeks is, en reeksen in bepaalde gevallen kunnen verkrijgen; weten hoe de Laplace Transform van basisfuncties te vinden, en inverse transformaties te vinden. Laplace Transformaties kunnen gebruiken om differentiaalvergelijkingen op te lossen; Legendre Polynomen en Bessel Functies herkennen en manipuleren; reeksoplossingen vinden voor bepaalde differentiaalvergelijkingen.

In dit jaar volgen de leerlingen optionele modules.