Mathématiques, recherche opérationnelle et statistiques avec placement professionnel BSc (Hons)

Cardiff University

L'algèbre linéaire est une pierre angulaire des mathématiques modernes. Ce module présentera et étudiera plusieurs des structures fondamentales de l'algèbre linéaire, notamment les espaces vectoriels, les sous-espaces, les transformations linéaires, les combinaisons linéaires, les ensembles étendus, les ensembles linéairement indépendants et la dimensionnalité. Tous ces concepts seront illustrés par de nombreux exemples spécifiques, établissant ainsi un lien solide entre l'abstrait et le concret. Le module se terminera par la définition d'une base d'un espace vectoriel à dimensions finies et par une preuve du résultat selon lequel tout espace vectoriel à dimensions finies peut être identifié à un ensemble de tuples finis de scalaires.

Ce module te permettra de te familiariser avec les structures de base des mathématiques : Les ensembles, les nombres, les structures algébriques de base et la notion de limite. De plus, tu apprendras ce qu'est une preuve mathématique et comment prouver un énoncé mathématique.

Dans ce module, nous étudierons rigoureusement les fonctions réelles et leurs propriétés, en nous concentrant notamment sur la continuité et la différentiabilité. Nous donnerons une définition mathématique des limites en un point, de la continuité, de la dérivée et de l'intégrale de Riemann. Nous montrerons comment dériver de manière rigoureuse de nombreuses règles de calcul déjà utilisées au niveau A. Une attention particulière sera accordée à la démonstration de théorèmes pour les fonctions différentiables (comme par exemple le théorème de la valeur intermédiaire) et aux applications aux maxima et minima, à la convexité et à la concavité. Ces outils peuvent ensuite être appliqués à l'étude qualitative des fonctions et de leurs graphes.

Ce module donne une introduction à la géométrie euclidienne plane élémentaire. Nous présentons ce matériel d'une manière qui met l'accent sur l'approche axiomatique, la pensée logique et les preuves rigoureuses, ainsi que sur l'utilisation minutieuse des diagrammes comme aide à la compréhension des problèmes et à la recherche de solutions. Dans la dernière moitié du module, nous introduisons également des notions de base de la géométrie sphérique, en soulignant les différences entre celle-ci et la géométrie euclidienne.

Dans le monde moderne, il est impératif pour un mathématicien de savoir programmer. Ce module donnera aux élèves une introduction aux concepts généraux de la programmation qui devrait leur permettre de s'épanouir tout au long de leur diplôme et au-delà. Ce module initiera les élèves à la programmation par le biais de Python. Le module enseignera également les particularités de la programmation appliquée aux mathématiques.

Le rôle des statistiques dans le monde moderne ne cesse de croître et des applications peuvent être trouvées dans une grande variété de domaines, notamment la science, l'industrie, le gouvernement et le commerce, ce qui fait d'une compréhension de base des statistiques une compétence essentielle. Il s'agit d'un module magistral d'introduction à l'inférence statistique pour développer une compréhension des principes de base de la statistique mathématique, utilisée dans des situations où l'image complète d'un problème (population) est inconnue et doit être déduite des données collectées (échantillon aléatoire). Ce module sera accessible à ceux qui ont des connaissances en mathématiques pures de niveau A et une introduction à la théorie des probabilités. Il préparera les élèves à tous les modules contenant des statistiques et des probabilités dans les années à venir du programme du diplôme.

Le module commence par l'idée d'un espace de probabilité, qui est la façon dont nous modélisons les résultats possibles d'une expérience aléatoire. Des concepts tels que l'indépendance statistique et la probabilité conditionnelle sont introduits, et un certain nombre de problèmes pratiques sont étudiés. Nous nous intéressons ensuite aux variables aléatoires et examinons certaines distributions de probabilité bien connues. Nous nous concentrons ensuite sur les distributions discrètes et introduisons l'idée d'indépendance pour les variables aléatoires, ainsi que le concept important d'espérance mathématique. Nous passons ensuite à l'étude des vecteurs aléatoires, où nous introduisons la covariance et la corrélation, les distributions conditionnelles et la loi de l'espérance totale. Enfin, nous montrons comment les idées développées pour les distributions discrètes peuvent être transposées aux distributions continues, et nous concluons par quelques théorèmes d'approximation.

La première partie du module vise à présenter aux élèves les équations différentielles du premier ordre. Les techniques de calcul seront déployées pour trouver des solutions simples de ces équations différentielles. En outre, les élèves devront comprendre comment on peut donner une interprétation géométrique aux solutions, même lorsqu'il n'est pas possible d'utiliser les techniques de calcul pour obtenir des solutions pouvant être écrites sous une forme simple. La deuxième partie du module est consacrée à la résolution d'équations différentielles du second ordre. Des techniques de manipulation seront utilisées pour déterminer les solutions des équations différentielles du second ordre dans les cas où l'équation prend une forme spécifique et relativement simple. La deuxième partie du module concerne la solution d'équations différentielles du second ordre. Des techniques de manipulation seront utilisées pour déterminer les solutions des équations différentielles du second ordre dans les cas où l'équation prend une forme spécifique et relativement simple. Il y aura également une discussion générale sur les circonstances dans lesquelles il est possible de savoir qu'il existe une solution d'une équation différentielle, même si une formule mathématique simple pour la solution ne peut être obtenue.

Ce module basé sur des cours magistraux continue de présenter aux élèves les notions fondamentales de l'algèbre linéaire. Reprenant là où MA1008 Algèbre linéaire I s'est arrêté, nous interprétons les bases comme des isomorphismes de coordonnées avec kn. Nous expliquons ensuite comment cela nous permet d'écrire et de manipuler des cartes linéaires abstraites sous forme de matrices. Les méthodes de calcul matriciel sont introduites et étudiées en détail. Les élèves apprennent à calculer le noyau et l'image d'une carte linéaire à l'aide de matrices et, comme application, à résoudre des systèmes d'équations linéaires homogènes et non-homogènes. Enfin, nous étudions comment la matrice d'une carte linéaire change avec un changement de base et la forme standard à laquelle elle peut être amenée. Le module se termine par certains des éléments les plus passionnants et les plus difficiles de l'algèbre linéaire. Nous examinons la forme standard à laquelle la matrice d'une carte linéaire peut être amenée en changeant les bases de l'espace source et de l'espace image. Nous demandons ensuite ce qui se passe dans le cas d'un endomorphisme, où une seule base peut être choisie pour les deux. La diagonalisabilité est abordée, ce qui mène naturellement aux notions de vecteurs propres et de valeurs propres. Les élèves apprennent à les calculer à l'aide du polynôme caractéristique. L'existence de cartes linéaires non diagonalisables est établie, ce qui mène au théorème principal du cours : la forme normale de Jordan de l'endomorphisme. Nous terminons en étudiant les espaces vectoriels doubles et les bases doubles, les formes bilinéaires, l'orthogonalité, les produits internes et l'algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.

Ce module montre comment les concepts de différenciation et d'intégration des fonctions réelles peuvent être étendus aux fonctions complexes. Les fonctions complexes transforment des nombres complexes en nombres complexes. Pour un sous-ensemble spécial de ces fonctions, il est possible de définir une dérivée. Ces fonctions complexes différentiables ont des propriétés particulièrement intéressantes. L'intégrale réelle entre deux points x1 et x2 sur l'axe réel est généralisée à une intégrale complexe le long d'un chemin entre deux points z1 et z2 dans le plan complexe. Ces intégrales sont appelées intégrales de contour. Les théorèmes de Cauchy montrent comment certaines intégrales de contour de fonctions complexes différentiables peuvent être évaluées d'une manière belle et simple en utilisant des méthodes connues sous le nom de calcul des résidus. Le calcul des résidus peut être utilisé pour évaluer les intégrales réelles.

Ce module sera consacré au transfert de toutes les notions de base du calcul des fonctions d'une variable aux fonctions de plusieurs variables, notamment les limites, la continuité, les extrema, la différenciation et l'intégration. De plus, les élèves apprendront des notions de base sur les courbes et les surfaces. À la fin du module, l'élève devrait être capable de localiser les points de discontinuité de fonctions spécifiées ; de trouver les équations des plans tangents aux surfaces ; de développer les fonctions de deux variables en séries de Taylor ; de localiser les points stationnaires des fonctions de deux variables ; de déterminer la nature des points stationnaires ; de déterminer les valeurs maximales et minimales des fonctions soumises à des contraintes ; d'évaluer les intégrales doubles et triples en les exprimant sous forme d'intégrales répétées et par changement de variable ; de comprendre les preuves des théorèmes sous-jacents aux procédures décrites dans le cours.

La connaissance des probabilités et des statistiques est utile dans de nombreuses carrières supérieures. Ce double module permet aux élèves de comprendre les principes qui sous-tendent les méthodes statistiques couramment utilisées par les statisticiens professionnels, et vise à préparer les élèves à une carrière impliquant une analyse statistique. La première partie du module commence par l'étude des espaces de probabilité, des variables aléatoires et des fonctions de distribution. Nous examinons ensuite diverses transformations des variables aléatoires, ce qui révèle des liens profonds entre de nombreuses distributions de probabilité bien connues. Ensuite, nous développons la théorie de l'espérance mathématique et de l'espérance conditionnelle. La première partie du module se termine par l'étude des fonctions génératrices de moment et des fonctions caractéristiques, qui sont ensuite utilisées pour prouver les théorèmes de limite classiques tels que la loi des grands nombres et le théorème de limite centralCOPY00.

La recherche opérationnelle (RO) est l'application de méthodes analytiques avancées pour aider à prendre de meilleures décisions. Souvent, cela prend la forme du développement d'un modèle mathématique d'un système envisagé, puis de l'utilisation du modèle pour examiner et quantifier des questions de type "Et si" afin d'améliorer ses performances. Ce double module offre une introduction à un certain nombre de sujets en RO, à savoir la théorie des files d'attente, la simulation, la programmation linéaire et l'analyse de réseau. Ces sujets sont orientés vers les applications des mathématiques dans des situations de la vie réelle. Ce module est une condition préalable à certains modules de troisième niveau en OR.

Il s'agit d'un module basé sur des cours magistraux, qui traite des méthodes mathématiques fondamentales qui sont essentielles à tous les étudiants en mathématiques ou en statistiques. Il développe en particulier la théorie de certaines séries et transformations importantes. À l'issue de ce module, l'élève doit être capable de comprendre ce qu'est une série de Fourier et d'obtenir des séries dans certains cas ; savoir comment trouver la transformation de Laplace de fonctions de base et trouver les transformations inverses. Être capable d'utiliser les transformations de Laplace pour résoudre des équations différentielles ; reconnaître et manipuler les polynômes de Legendre et les fonctions de Bessel ; trouver des solutions en série pour certaines équations différentielles.

L'École de mathématiques offre aux étudiants la possibilité de passer une année dans un emploi salarié, en travaillant comme mathématicien et/ou statisticien dans diverses organisations au Royaume-Uni et en Europe. Nous avons des liens avec des entreprises qui accueillent des étudiants de Cardiff depuis de nombreuses années, et nous proposons des stages qui correspondent au niveau de développement académique de chaque étudiant. Les stages sont soigneusement choisis pour être bénéfiques à la fois à l'étudiant et à l'employeur. Une fois le module terminé avec succès, l'élève recevra un prix de reconnaissance professionnelle City and Guilds (PRA) au niveau 4 (licence).

Cette année, les élèves suivront des modules facultatifs.