Mathématiques pures BSc (Hons)

Swansea University

Ce module présente des concepts de base tels que les ensembles, les fonctions, la complétude, les séquences et les séries. À la fin de ce module, les élèves devraient être capables : d'expliquer la théorie de base des ensembles ; de donner une preuve formellement correcte ; d'utiliser le concept d'induction mathématique ; de déterminer les propriétés des fonctions telles que l'injectivité, la surjectivité, la bijectivité ; de discuter de la complétude des nombres réels ; d'identifier des séquences et des séries bien connues ; d'appliquer diverses techniques pour déterminer si les séquences et les séries convergent ou non.

Ce module introduit des concepts fondamentaux tels que les limites, la continuité, la différentiabilité et l'intégrabilité. À la fin de ce module, les élèves devraient être capables de : utiliser la définition de limite pour prouver des résultats sur les limites des fonctions à valeurs réelles ; exposer les propriétés des fonctions continues et différentiables ; utiliser les propriétés de la dérivée pour étudier le comportement des fonctions ; esquisser les graphiques des fonctions exponentielles, trigonométriques et hyperboliques ; déterminer si les fonctions sont intégrables de Riemann ou non.

Une introduction à la logique et aux structures algébriques. Le cours couvre les bases de la logique, de la preuve et de la manipulation algébrique avant d'introduire l'algèbre abstraite des groupes, des anneaux et des champs. À la fin de ce module, l'élève devrait être capable de : expliquer et appliquer les principes de base de la logique, de la preuve et de la manipulation algébrique, définir les groupes, les anneaux et les champs et décrire leurs propriétés de base, résoudre des problèmes algébriques de base dans des situations concrètes et abstraites, appliquer des techniques appropriées de manipulation algébrique à une situation donnée, reconnaître les modèles sous-jacents à une variété de situations algébriques, travailler avec des nombres complexes et expliquer leur nécessité, énoncer le théorème fondamental de l'algèbre.

Une introduction à la combinatoire, aux vecteurs, aux matrices et aux espaces vectoriels abstraits. À la fin de ce module, l'élève doit être capable de : expliquer les ordonnancements d'ensembles et le concept de dénombrabilité, appliquer des techniques combinatoires de base, calculer le plus grand diviseur commun et manipuler autrement l'algorithme euclidien, définir le concept d'espace et de sous-espace vectoriel et donner des exemples standard d'espaces vectoriels,expliquer les relations entre les vecteurs, les matrices, les espaces vectoriels et les transformations linéaires, résoudre des systèmes d'équations linéaires à l'aide de l'élimination gaussienne, définir les concepts de bases et de coordonnées dans les espaces et sous-espaces vectoriels.

Une introduction à la géométrie euclidienne et à la méthode axiomatique, comme base pour développer des compétences mathématiques générales, y compris la logique et la communication. À la fin de ce module, les élèves doivent être capables de : résoudre des problèmes simples de géométrie euclidienne, construire des preuves logiques de base en utilisant les systèmes d'axiomes d'Euclide, de Peano et de géométrie hyperbolique, comprendre et appliquer des théorèmes géométriques classiques tels que ceux de Pythagore, Thalès, composer des mathématiques à l'aide de LaTeX, y compris des diagrammes le cas échéant, faire des présentations orales de leur travail, démontrer une compréhension des différences entre des mathématiques bien écrites et des mathématiques mal écrites.

Ce module fournit une introduction de base à la modélisation mathématique du monde réel et à l'utilisation de la programmation informatique pour analyser et simuler ces modèles. Il comprendra des techniques de modélisation de base, des méthodes de calcul de base et des approches computationnelles pour résoudre des modèles simples. À la fin de ce module, les élèves devraient être capables de : Interpréter des modèles mathématiques décrivant la dynamique de la croissance démographique ; Interpréter et écrire des algorithmes de base ; Effectuer des calculs de base dans Matlab ; Apporter les modifications appropriées à un modèle de base pour décrire une dynamique de nature différente ; Interpréter comment les variations des équations du modèle se reflètent dans la dynamique résultante ; Sélectionner les méthodes analytiques et numériques appropriées pour étudier un modèle ; Analyser des modèles d'équations de différence ; Résoudre des ODE simples à l'aide de techniques numériques et analytiques de base.

Ce module présente les concepts fondamentaux de l'analyse dans les espaces à n dimensions, tels que la convergence, la continuité, la différentiabilité, l'intégrabilité et les éléments du calcul vectoriel. À la fin de ce module, les élèves devraient être capables de : manipuler les dérivées partielles et les jacobiens ; discuter des propriétés de base des fonctions différentiables de plusieurs variables ; calculer les intégrales itérées et de volume ; appliquer le théorème de Green sur le plan.

Le module étend des idées telles que la continuité et la convergence aux espaces métriques et introduit des concepts clés dans la théorie générale de la mesure et de l'intégration de Lebesgue. À la fin de ce module, les élèves devraient être capables de : démontrer leur compréhension des concepts de base des espaces métriques tels que la convergence, la complétude, la compacité et la connexité ; identifier les mappings de contraction ; faire la distinction entre la convergence ponctuelle et la convergence uniforme ; étudier la convergence des séries de fonctions à l'aide du test M de Weirstrass ; démontrer leur compréhension des concepts de base de la théorie de la mesure et de son interaction avec la théorie des probabilités ; comparer l'intégrale de Lebesgue à l'intégrale de Riemann standard ; reconnaître les situations dans lesquelles utiliser le théorème de convergence monotone et dominée.

Ce module couvre la théorie abstraite des espaces vectoriels et des espaces de produit interne ainsi que la théorie des transformations linéaires. À la fin de ce module, l'élève devrait être capable de : expliquer les concepts d'indépendance linéaire, de bases et de dimension dans un espace vectoriel, manipuler et caractériser les transformations linéaires, trouver les valeurs propres et les vecteurs propres pour une transformation linéaire donnée, expliquer la diagonalisation d'une transformation linéaire, définir le concept de produit interne et d'espace de produit interne, expliquer le concept abstrait de vecteurs orthogonaux, prouver des résultats standard impliquant les espaces vectoriels et les espaces de produit interne.

Ce cours aborde la théorie des groupes et des anneaux en tant qu'objets algébriques abstraits. À la fin de ce module, l'élève devrait être capable de : reconnaître et manipuler des exemples de groupes et d'anneaux, calculer les ordres des éléments de groupes, reconnaître les unités dans les anneaux, appliquer et exploiter les définitions standard de l'algèbre abstraite, par exemple sous-groupe normal, idéal maximal, calculer avec les décompositions de coset, reconnaître et établir les propriétés de base des représentations, décrire les produits des groupes cycliques, manipuler les permutations en termes de cycles, comparer et opposer la structure de différents groupes et anneaux.

Ce module couvre les sections coniques, la géométrie projective ainsi que des problèmes de géométrie non-euclidienne. Résultats d'apprentissage : reconnaître différents types de transformations linéaires affines et de transformations de Möbius, et effectuer des calculs élémentaires ; calculer les propriétés de base des courbes paramétriques ; identifier les sections coniques en géométrie analytique et projective ; énoncer des résultats de base en géométrie plane axiomatique affine et projective ; expliquer la relation entre le postulat du parallèle et la géométrie non-euclidienne.

Ce module est un cours élémentaire sur la théorie et les méthodes des équations différentielles ordinaires (EDO). Il combine une approche rigoureuse de l'existence et de l'unicité des solutions avec des méthodes pour trouver des solutions explicites aux ODE. Des applications sont discutées pour des problèmes concrets en physique et en biologie. À la fin du module, l'élève devrait être capable de : reconnaître les formes standard des ODE et trouver des solutions ; s'attaquer aux problèmes d'existence et d'unicité des ODE ; relier la théorie des ODE aux sujets connexes de l'algèbre linéaire et de l'analyse mathématique.

Ce module offre la possibilité d'explorer un sujet mathématique et d'apprendre de nouvelles matières sans instruction, mais sous la supervision d'un membre du personnel. À la fin de ce module, les élèves devraient être capables de : Rechercher efficacement dans la littérature et synthétiser différentes sources, Planifier un projet et faire preuve de compétences en matière de gestion du temps, Préparer et remettre des rapports écrits et des présentations orales, Utiliser efficacement l'informatique dans tout ce qui précède.

Ce module aborde la théorie des fonctions analytiques complexes ; y compris les concepts d'équations de Cauchy-Riemann, de séries de puissance, de séries de Laurent et de calcul des résidus. À la fin de ce module, les élèves devraient être capables de : comprendre le concept de fonction holomorphe et appliquer les équations de Cauchy-Riemann ; définir les fonctions exponentielles et trigonométriques complexes et prouver leurs propriétés de base ; manipuler les séries de puissance, exprimer une fonction holomorphe sous forme de série de puissance ; comprendre le calcul des résidus et calculer les résidus ; évaluer les intégrales de contour à l'aide du théorème des résidus ; comprendre le théorème de Laurent et ses applications.

Ce cours aborde la théorie des groupes, des anneaux et des modules en tant qu'objets algébriques abstraits. Le cours présente également les catégories comme un langage et une force unificatrice des mathématiques modernes. À la fin de ce module, les élèves devraient être capables de : reconnaître les différences entre les groupes ; construire des preuves de résultats abstraits ; caractériser tous les groupes abéliens finis ; déterminer la structure de tous les groupes de petit ordre.

Ce module explore l'approche topologique de la continuité et l'étude des objets via leur structure topologique. À la fin de ce module, les élèves devraient être capables de : travailler avec l'approche topologique de la continuité et vérifier la continuité des fonctions élémentaires ; vérifier les propriétés topologiques telles que la connexité ; comprendre les constructions topologiques telles que les produits et les quotients ; établir quand les fonctions sont homotopiques ; calculer le nombre d'Euler d'un espace cellulaire ; manipuler les invariants algébro-topologiques de base tels que les groupes d'homologie simpliciale.

Une introduction à l'analyse des fonctions par leur série de Fourier. À la fin de ce module, les élèves devraient être capables de : traiter les problèmes et résultats de convergence de base pour les séries de Fourier ; identifier les espaces de Hilbert et leur géométrie ; travailler avec le concept d'expansions de séries orthogonales ; appliquer les séries de Fourier et la transformée de Fourier pour résoudre des problèmes liés aux équations différentielles (partielles).